西施范文网优秀的范文提供网站
你的位置： 首页 > 策划书辞职报告

空间向量的数量积及其应用说课（空间向量数量积的应用教案）

2025-11-17 02:30:12 | 人围观 | 评论:

一、教材分析:

（一）教材的地位、作用：

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》，计划安排两节课时，本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式，然后，围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。

（二）教学目标:

知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度、价值观目标：

①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

（三）教学重点、难点:

重点：空间向量数量积公式及其应用。

难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题。

二、教法、学法分析:

教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；

学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。

（四）教学过程分析:

根据二期课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：

基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本知识，再其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。以下，是我制定的教学流程：

创设情境，提出问题类比猜想，探求新知公式运用，巩固提高回顾小结，整体感知课外探究，激发热情

教学过程如下：

（一）创设情境：

给出问题一：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，D1F=，如何确定的夹角？

[设计意图]：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。

[处理过程]：

设问：平面向量的夹角问题如何求得的？【是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？

学生活活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示；类比猜想，认识空间向量的夹角问题。

（二）建构数学：

（板书）

对于空间两个非零向量（三）公式运用：

1、问题一的解决：

①学生活活动：解决上述问题。

②.变式运用：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，D1F=，求BE、FD所成的角？

[设计意图]：初步体会立几法、向量法来解决几何问题，并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。

[处理过程]：

设问：如何用向量方法求BE、FD所成的角？

（引导学生建立空间直角坐标系，求得B、D、E、F的坐标，进一步得到的坐标，最后代入空间向量夹角公式…计算得出的向量夹角是钝角，而异面直线所成的角应为锐角。）

[评价]：

①异面直线所成的角可由向量法求得，可见，解决立体几何的有关问题时，方法并不唯一。在此，可以比较向量法和几何法，选择适当的方法，解决问题。

②两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别别的。这两者的定义不同，导致出不同的结果。

2.问题二的探究：

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1中点为M。

（1）求证：CD⊥平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。

[设计意图]：通过立几法、向量法的“尝试”，让学生明显感受到运用向量法的优越性。

[处理过程]：

①学生活活动：让学生先行用传统的几何方法解决，估计不少学生会感到困难。

设问：如何用向量法求BE、FD所成的角？

（引导学生建立空间直角坐标系，求得B、D、E、F的坐标，进一步得到相关向量和点的坐标，再代入公式计算。）

[评价]：

①传统解法需作辅助线，有时较为困难。

②而用向量解法，程序化明确，便于操作。

（2）设问：如何用向量方法求BE、FD所成的角？

学生活活动：学生可能在解决这个问题时，感到有些困惑，但会通过自己的分析和探究，最终找到解决的方法。

设问：通过向量方法求解BE、FD所成的角的过程是什么？（这涉及到建立坐标系和确定点的坐标，再代入公式计算夹角。）

[评价]：

①在这个过程中，学生学会了如何运用向量知识分析空间几何问题，提高了他们的思维能力。

[处理过程]：

例：已知向量a=(2,1,3)，向量b=(-4,-2,6)。

（四）归纳总结：

引导学生总结本节课的收获，相互交流。

（五）课外探究：

（这是20xx年高考第18题第3小题，是个探索型问题。）

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，当λ的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD，请给出证明。

[设计意图]：这是20xx年高考第18题第3小题，是个探索型问题。把它放在这里，一方面：在高二阶段，接触到高考题，学生的兴趣颇高，可调动学生的学习热情，增强学生的主体意识；另一方面，解题中，再次让学生感受到：单纯用几何知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。

[处理过程]：

例：设平面α、β、γ分别通过点A(1,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,3)，向量n=(a,b,c)是平面α、β、γ的法向量，且满足n·AB=3，n·AC=6，n·BC=9，求向量n。

[设计意图]：引导学生运用向量知识解决空间几何问题，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

[处理过程]：

设问：如何用向量方法解决这个问题？

学生活活动：学生可能在解决这个问题时感到有些困难，但会通过自己的分析和探究，最终找到解决的方法。

设问：向量n满足的条件是什么？（即n是平面α、β、γ的法向量，且满足n·AB=3，n·AC=6，n·BC=9）

学生活活动：学生可能在思考中出现一些困惑和错误，但通过教师的引导和指导，最终能够清楚地理解并掌握正确的解题方法。

[评价]：

①在这个过程中，学生学会了解决空间几何问题的一种有效方法，即利用向量知识建立坐标系，并通过点和向量的关系来解决问题。

[设计意图]：引导学生总结本节课的收获，相互交流，同时为课外探究留有思维空间和拓展余地，激发学生的进一步学习兴趣。

[p47]{板书设计}

课题引入：问题一的解决：课外探究：

空间向量数量积、夹角公式：

问题二的解决：

布置作业

[板书]

空间向量数量积与夹角公式：

问题一：AE=EA1，D1F=?，求的夹角？

例题分析：已知向量a=(2,1,3)，b=(-4,-2,6)。

计算：向量a·b = ?

|a|=√(2² 1² 3²)=√14；

|b|=√((-4)^2 (-2)^2 6^2)=√(16 4 36)=√56=2√14。

cosθ=(a·b)/(|a||b|)=( (8 - 2 18) ) / (√14 * 2√14) = 24/(2*14)=24/28=6/7.

所以，夹角为arccos(6/7).

通过以上思考和例子分析，我们可以清楚地看到向量方法在解决空间几何问题中的有效性。在接下来的课程中，我们将继续深入探讨更多向量与立体几何结合的应用场景，进一步提高我们的空间想象能力和解决问题的能力。





标签：向量 夹角 问题